Добрый день, Алла!
Да, действительно, скошенную траву нужно убирать с газона.
Вероятно, у Вас проблема с газонокосилкой или с конструкцией травосборника, а не с травой на газоне.
Если сможете показать фото, в каком месте высыпается трава с травосборника, может сможем подсказать причину.